Proses Stokastik

Rachmad Resmiyanto

Kata stokastik (stochastics) merupakan jargon untuk keacakan. Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Hull (1989, hlm.62) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) dikatakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang suatu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik.


Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem.

Secara baku (formal), proses stokastik $ \left\{X(t), \,t\in T\right\} $ ditakrifkan sebagai sebuah barisan peubah acak, yaitu untuk setiap $t\in T$ mempunyai peubah acak $X(t)$. Seringkali penjurus (index, indeks) $t$ ditafsirkan sebagai waktu, karena banyak sekali proses stokastik yang terjadi pada suatu selang waktu. Nilai peubah acak $X(t)$ atau $X_t$ disebut sebagai keadaan pada saat $t$. Himpunan $T$ disebut ruang parameter atau ruang penjurus dari proses stokastik $X$ dan himpunan semua nilai $X(t)$ yang mungkin disebut ruang keadaan dari $X$. Nilai himpunan penjurus $T$ dapat berupa himpunan yang anggotanya tercacah ataupun malar. Jika $T$ merupakan himpunan tercacah, misalnya $N$, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu tercacah (discrete time process) atau juga dikenal sebagai rantai (chain). Jika $T$ merupakan sub himpunan pada garis bilangan riil, baik dengan selang terbuka atau tertutup, maka proses stokastik yang demikian merupakan proses waktu kontinu (continuous time process).

Setiap realisasi dari $X$ dinamakan lintasan sampel (sample path) dari $X$. Sebagai contoh, jika peristiwa terjadi secara acak dalam waktu dan $X(t)$ mewakili jumlah peristiwa yang terjadi dalam $[0,t],$ maka gambar di bawah menyajikan sample path $X$ yang berhubungan terhadap peristiwa awal yang terjadi pada saat $t=1$, peristiwa berikutnya pada saat $t=3$ dan peristiwa ketiga pada saat $t=4$.

Sebuah lintasan dari $ X(t)= $ jumlah peristiwa dalam $[0,t]$}

Yang menjadi perhatian dari proses ini adalah kelakukan proses setelah proses tersebut berjalan lama. Mengingat proses tersebut memuat suatu ketidakpastian, maka secara matematis kelakuan dari proses tersebut dapat digambarkan oleh agihan peluang dari $X(t)$ atau fungsi dari $X(t)$, untuk $ t\rightarrow \infty $. Dari agihan peluang ini akan didapat beberapa nilai harap dari beberapa besaran yang mungkin menjadi perhatian.

Proses-proses stokastik dapat dikelompokkan berdasarkan jenis ruang parameternya, ruang keadaannya, dan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuk proses stokastik tersebut.

Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik dapat dibedakan menjadi:

1. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah
   Contoh : stasiun televisi yang paling banyak ditonton di Indonesia atas survey bulanan, banyaknya sepatu yang dibeli dari sebuah toko per hari.
   
   
2. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah
   Contoh : banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan Jurusan Fisika UGM dalam selang waktu tertentu, banyaknya tikus yang sudah terperangkap di suatu perangkap pada selang waktu $t$ sebarang.
   
   
3. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar
   Contoh : volume air di suatu bendungan yang diteliti tiap pukul 7 pagi, waktu untuk melayani mahasiswa ke-$n$ yang datang untuk meminta pelayanan administrasi akademik.
   
   
4. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar
   Contoh : volume air di suatu bendungan yang diteliti pada waktu $t$ sebarang.
   

Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuknya, proses stokastik dapat dibedakan menjadi beberapa kelas seperti proses Levy, proses Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik (point process).